带阻力的运动学方程推导

问题：假如某个物体从高空由静止释放，受到重力 mgmg 和空气阻力。

  • 前提条件：低速状态下，空气阻力一般与速度成正比，即 f=kvf=kv。

规定竖直向下为正方向，试分析物体在任意时刻的速度。

进行受力分析，有 mg−kv=mamg-kv=ma，即：

mg−kv=mdvdtmg-kv=m\frac{dv}{dt}

分离参数 v,tv,t：

dvmg−kv=dtm\frac{dv}{mg-kv}=\frac{dt}{m}

对两边积分：

∫1mg−kv dv=∫1m dt\int \frac{1}{mg-kv}\ dv=\int \frac{1}{m}\ dt

转成定积分形式，左边从 00 积到任意时刻的速度 vv，右边从 00 积到该时刻 tt：

∫0v1mg−kv dv=∫0t1m dt\int^v_0 \frac{1}{mg-kv}\ dv=\int^t_0 \frac{1}{m}\ dt

易得 RHS=[tm]0t\text{RHS}=[\frac{t}{m}]^t_0，分析等式左侧：
利用 uu-substitution，设 u=mg−kvu=mg-kv，则有：

LHS=∫0v1u dv\text{LHS}=\int^v_0 \frac{1}{u}\ dv

将 dudv=−k\frac{du}{dv}=-k 代入，有

∫1u dv=∫1u⋅−1k du=−1kln⁡∣u∣=−1kln⁡(mg−kv)\int \frac{1}{u}\ dv=\int \frac{1}{u}\cdot -\frac{1}{k}\ du=-\frac{1}{k}\ln|u|=-\frac{1}{k}\ln(mg-kv)

整理一下，

[−1kln⁡(mg−kv)]0v=[tm]0t[-\frac{1}{k}\ln(mg-kv)]^v_0=[\frac{t}{m}]^t_0

−1k(ln⁡(mg−kv)−ln⁡(mg))=tm-\frac{1}{k}(\ln(mg-kv)-\ln(mg))=\frac{t}{m}

−1kln⁡(mg−kvmg)=tm-\frac{1}{k}\ln(\frac{mg-kv}{mg})=\frac{t}{m}

就快完成了！把常数扔到一边，

ln⁡(mg−kvmg)=−ktm\ln(\frac{mg-kv}{mg})=-\frac{kt}{m}

然后两边加上 ee 的指数把 vv 提取出来：

eln⁡(mg−kvmg)=e−ktme^{\ln(\frac{mg-kv}{mg})}=e^{-\frac{kt}{m}}

mg−kvmg=e−ktm\frac{mg-kv}{mg}=e^{-\frac{kt}{m}}

解得：

v=mgk(1−e−ktm)v=\frac{mg}{k}(1-e^{-\frac{kt}{m}})